Un método iterativo para una solución numérica de la ecuación de Richards. - Murillo Noblecilla, Miguel Alonso (2023)
La ecuación de Richards es una ecuación diferencial parabólica degenerada no lineal sin solución analítica. Se utilizan métodos numéricos para obtener sistemas no lineales, que se resuelven por medio de aplicar los métodos de linealización. Dos de los métodos de linealización más valiosos son el Método de Newton, que es cuadráticamente convergente, pero solo tiene convergencia local, y el Método -esquema, que es linealmente convergente de manera global. Además, los métodos mixtos combinan ambos para obtener métodos de convergencia cuadráticamente global, sin una regla clara para pasar de uno a otro. En esta tesis usamos el error aproximado de la solución para desarrollar nuevos métodos de linealización adaptativos con un parámetro de tolerancia ( ), el cual consiste en utilizar métodos propuestos en la literatura adaptándole el parámetro de tolerancia al método de linealización, lo que nos permitirá tener una mejora en la velocidad de convergencia en el tiempo de cómputo y en el tipo de convergencia. Consideramos métodos de linealización de una combinación convexa de dos tipos: uno global y otro localmente convergente. El primer caso combina el -esquema con el Método de Newton (ALN). Luego, se combina el -esquema con el Método de Picard Modificado (ALP) que su análisis es de manera similar al Método ALN. Para el tercer caso, primero desarrollamos un modelo adaptativo del Método Tipo Secante (AtS), que no calcula la derivada, pero aún así es localmente convergente. Usamos la combinación convexa adaptativa del -esquema con el Método Tipo Secante para obtener un cuarto método superlineal globalmente convergente (ALS). Finalmente, el quinto método considera el -esquema y el Método Newton Adaptativo con un parámetro de tolerancia (ASSLN). Probamos los métodos de linealización adaptativos con cinco ejemplos, mostrando que los nuevos métodos propuestos son robustos, rápidos y convergentes, aún cuando el Método de Newton no lo hace. Además, para la nolinealidad de Gardner de tipo exponencial, mostramos que el -esquema y el - esquema son demasiado lentos como técnicas linealización con respecto a los Métodos ALN, ALP, AtS, ALS y ASSLN.